Оглавление

Фракталы, природа сложных систем и хаос
А.М. Леонов

Якутский госуниверситет, Институт математики и информатики

        Судьба синергетики. Абстрактные математические структуры --- фракталы и хаос, получив признание в 70-х годах XX века, быстро стали модными. Вначале, их осмысление, особенно в России, осуществлялось в рамках синергетики - междисциплинарного научного направления, сумевшего громко заявить о себе. Исходя из принципов самоорганизации, создатель этого направления профессор Г.Хакен, директор Института теоретической физики и синергетики Университета Штутгарта, стремился включить в сферу интересов этой науки проблемы нелинейности, необратимости, фракталов, хаоса, сложных систем и пр. Но время восторженного отношения к синергетике миновало даже в России, и началась эпоха критического осмысления целесообразности её выделения. Катализатором этого процесса, в известной мере, стал скандал, разразившийся на Московском Синергетическом форуме, проходившем в январе 1996 года под эгидой института философии РАН. В статье, написанной под впечатлением этого форума, синергетика была охарактеризована как «дикая динамитная смесь физикалистских амбиций, кухонной мудрости и расхожего мистицизма, замешанного на суевериях, - “пена” эпохи перемен»[1], После этого, многие серьезные ученые стали избегать даже упоминания слова «синергетика». Это было своеобразной российской реакцией на происходящие в мире события, на тот факт, что это направление не сумело стать легитимным, и отвергнуто как необоснованная претензия в большинстве стран мира. В настоящее время мало кто верит, что синергетика - это наука, скорее это плохо увязанная совокупность разнородных представлений, новая парадигма [2], или, по крайней мере, некий язык описания структур реального мира, понятный её адептам [3]. Вместо неё сейчас чаще говорят о нелинейной науке, или науках о сложности. Первое название больше импонирует физикам, а второе - всем остальным. Мы будем использовать термин «науки о сложности» (Complexity). Это объясняется также целым рядом более существенных причин.
        Что представляют собой науки о сложности? Во-первых, это не одна наука, а целая серия обширных, быстро эволюционирующих и расходящихся направлений, с постоянно растущим множеством приложений. Эти направления постоянно изменяют свой облик, отдавая дань разнообразию конкурирующих тенденций, что не позволяет рассматривать их как нечто установившееся, определенное, доступное неспешному философскому анализу. Этот факт как раз и подчеркивается неопределенным, метафорическим термином - "науки о сложности". Во-вторых, все эти науки, развиваемые под эгидой Complexity [4], при ближайшем рассмотрении, обнаруживают отчетливую взаимозависимость и широко используют в своей эволюции достижения друг друга. Это не позволяет, без ущерба для существа дела, отделять их друг от друга и рассматривать отдельно, как это часто делается у нас. В-третьих, связь различных направлений Complexity становиться явной на эпистемологическом уровне, когда обнаруживается их компьютерное происхождение. Дело в том, что если в России подавляющее большинство исследователей, работающих в этом направлении, считают себя физиками и математиками, то за рубежом этими проблемами занимаются, как правило, специалисты компьютерных наук (Computer Science). Основным инструментом исследований для них являются продвинутые вычислительные системы и неклассические, достижения математики, а результаты представляются в форме готовых программ, различных симуляторов и визуализаций вычислительных экспериментов. В-четвертых, науки о сложности развиваются в первую очередь ради приложений. Компьютерные результаты широко используются, они являются основой «высоких технологий». Публикации же только фиксируют завершения этапов работ, они информируют научную общественность о новых достижениях, которые уже используются на практике. Наконец, все науки о сложности развивается поперек традиционных научных направлений, у неё нет границ, кроме имеющихся у человечества знаний. То есть рамки этой науки постоянно расширяются, она завоевывает все новые территории и постепенно объединяет многие направления традиционной науки. О темпах такого преобразования науки свидетельствуют постоянно возникающие имена новых институтов, центров и сайтов в сети Интернет. Это, конечно, самая общая картина, сказанное позволяет уточнить рамки статьи и выбрать последовательность вопросов. Теперь перейдем к существу темы семинара.
        Как фракталы связаны с хаосом? Только в 70-х годах прошлого века исследования хаоса и фракталов шли параллельно и казались несвязанными, но уже несколько спустя лет выяснилось их близкое родство. Во-первых, это родственные математические теории, нацеленные на описание структуры нерегулярностей реального мира. Во-вторых, оба этих направления, благодаря компьютерному моделированию и визуализации, обладают высокой наглядностью, в них геометрическое воображение первостепенно. Но в хаосе геометрия подчинена динамике, она обслуживает и делает её наглядной, а во фракталах геометрическая визуализация является основной. В-третьих, теперь принято определять странные аттракторы хаоса как фракталы. Они естественным образом возникают при изучении динамических систем. Наконец, фракталы определяют структуру хаоса [5].Фракталы, по существу есть новый язык, дающий описание форм хаоса [6], они позволяют анализировать его тонкую структуру хаоса и даже обнаружить в нем проявления порядка. Примером такого фрактала является знаменитое фиговое дерево Фейгенбаума (figtree) [7]
        Как фракталы и хаос описывают природу? Только как математические теории. Они обеспечивают точное и наглядное представление об абстрактных структурах того, что ранее считалось лишенным какого-либо порядка, бесструктурным и случайным. Однако такие «неправильности» часто встречаются в природе. Математика характеризует реальность формально, то есть без учета множества признанных неважными деталей, на модельном уровне, показывая связи, определяемые моделью, но мы пока не знаем, в какой мере эти модели покрывают все многообразие природных нерегулярностей. Поэтому. абсолютизация фракталов как универсальной модели для описания всех встречаемых в природе и жизни «неправильностей», может быть оправдана лишь только в смысле «неимения лучшего».
        Что представляют собой типичные фракталы? Фракталы могут быть введены с помощью динамики, но это выяснилось не сразу. Вначале они были введены Бенуа Мандельбротом для представления математических объектов, которые не имеют «естественного» масштаба измерения, и выглядят в разных масштабах приблизительно одинаково. В природе имеются объекты, практически не изменяющие свой образ с изменением масштаба. Так, структура берега у острова или материка на картах разных масштабов всегда характеризуется наличием мысов и заливов, а --- рельефа --- пиков и впадин. Поэтому протяженность берега и рельефа функционально зависит от масштаба карты. Эта функция называется степенным законом. На графике зависимости длины от масштаба карты, построенном в двойном логарифмическом масштабе, точки приблизительно располагаются на прямой линии (Power Law). У этих структур нет естественного масштаба, они являются фракталами. Разумеется, существуют гораздо более сложные способы математического определения фрактальных моделей, в частности есть случайное фракталы, мультифракталы и пр.[8].В более широком смысле, практически все естественные границы, в том числе и фазовые переходы, сохраняют свою структуру в значительном, но конечном, диапазоне масштабов. Про такие объекты часто говорят, что они «самоподобны».Однако самоподобие --- слишком общий термин. На самом деле все реальные объекты, состоящие из частей, самоподобны. Фракталы, конечно, обладают самоподобием, но это математическое самоподобие правильнее называть самоафинностью. Именно присутствие скрытой математической регулярности, необходимой для их построения, придает им необыкновенное изящество. В неповторимом разнообразии причудливых форм интуитивно угадывается скрытый математический порядок, делающий фрактальные изображения поистине прекрасными [9] Однако здесь пока больше загадок, чем ясности. Особенно это касается так называемой фрактальной размерности.
        Что такое фрактальная размерность? Мы уже отметили, что фракталы определяют те объекты, которые не меняют с изменением масштаба свою форму, в отличие от обычных геометрических фигур, таких как треугольник, квадрат, круг и пр. Круг, например, при этом, превращается в прямую линию. В то же время, специально созданные в начале ХХ века для демонстрации математических монстров, фигуры, такие как снежинка Хельги фон Кох, губка Менгера, или множество Кантора, а также многие другие, сохраняют свою структуру в бесконечном диапазоне масштабов. Математические фракталы обладают странными чертами: они имеют бесконечную длину, непрерывны, способны заполнить плоскость, но ни в одной точке не имеют производной. Сравнение фракталов между собой поэтому представляет собой весьма актуальную проблему [10]. Первоначально, для этой цели Мандельброт предложил сверхъестественное дробное число, введенное Хаусдорфом и Безиковичем в начале ХХ века для демонстрации математических монстров. В принципе фрактальная размерность показывает степень грубости фрактала в сравнении с чистой, понятной топологической размерностью, которой обладают традиционные геометрические фигуры. Так, прямая линия имеет размерность 1, а значительно более извилистая линия морского берега от 1.15 до 1.25. Такое представление, ,ныне превратилась в ключевое свойство аттрактора, управляющее разнообразными количественными особенностями его динамики. Вместе с тем накопились и вопросы. Выяснилось, например, что существуют фракталы, фрактальная размерность которых определяется целым числом. Фрактальная размерность непрерывно меняется, и, в принципе, может быть любой, однако пока не удалось сделать эту характеристику уникальной и использовать её для идентификации фракталов. Очень многие, совершенно разные фракталы имеют одинаковую размерность.
        Какие проблемы дискутируются в науках о сложности? Сегодня фракталы появляются в науке двумя различными способами. Во-первых, они могут возникать как первичный предмет исследования и как описательное средство при исследованиях нерегулярных процессов и форм. И, во-вторых, они могут быть математическими выводами из некоторой, лежащей в их основе, хаотической динамики. Тем не менее, многое еще остается неясным. В известной мере, мы пока не знаем всего разнообразия фракталов. Мы пока их отыскиваем в природе, хотя уже существует фрактальная музыка, фрактальная живопись и др. Пока еще нет общей теории хаоса и фракталов, неясно, как далеко простираются модели подобного типа, нет также ясного и общего подхода к определению фрактальной размерности и пр. В частности, поэтому мы не можем с уверенностью утверждать, является ли данный объект фракталом, или нет. Это область современных исследований и обобщений. Здесь много еще вопросов к математике и математикам. Они касаются и теория ренормализации Вильсона, и магических констант Фейгенбаума, имеющих универсальный характер для целых классов функций, заметно отличающихся друг от друга и многое другое, выходящее за рамки данной статьи. Здесь мы, однако, должны остановиться на важном, ключевом для этой статьи, понятии «сложности». Как и многие другие общенаучные понятия, а сложность к ним, несомненно, принадлежит, оно не имеет однозначного определения. В разных науках она имеет разное определение, в частности, отдельно существует сложность программ и сложность алгоритмов, динамическая и статическая сложность, сложность эволюционная, сложность контекстуальная, логическая и пр. Иногда говорят, что сложность следует понимать метафорически, что сложная система -- это непременно система, способная к самоорганизации, она может быть связана с наличием большого количества и разнообразия частей, с богатством связей между этими частями, может быть обусловлена целостностью, организацией или эмерджентностью своих свойств и т.д. [11]
        Каким образом теория сложности связана с хаосом и фракталами? Вот это-то и является самым интересным. Один из самых известных фракталов -- множество Мандельброта, знаменитый «коврижный человечек», напоминающий имбирный пряник. Это множество возникает при итерации комплексного отображения z®z2+c, где с - константа на комплексной плоскости. Это отображение исследовалось еще в 40-е годы ХХ века французским математиком Г.Джулиа. Уже тогда было ясно, что столь простое отображение способно породить удивительно причудливые и сложные формы. Однако чудовищное разнообразие и удивительная красота этих форм стала нам понятной только благодаря гению Бенуа Мандельброта. После его работ стало окончательно ясно, что поведение простого отображения может очень сложным, бесконечно сложным, оно способно порождать ни с чем несравнимое разнообразие форм. Но еще более удивительно, что в разных местах «коврижного человечка» обнаруживаются его уменьшенные, но абсолютно точные копии [12]. Эта способность фракталов порождать огромное разнообразие очень сложных форм уже нашло самое широкое применение, например, при создании анимаций и художественных, особенно фантастических фильмов. Еще более тесно сложность связана с хаосом, ведь хаос - наиболее яркая метафора сложности.
        Каково практическое использование фрактальных моделей? Использование фрактальных моделей ныне колоссально, они во многих случаях потеснили традиционные математические модели, применяемые в физике. Фракталы и хаос внесли заметные изменения в традиционные науки, породив такие направления как физика фракталов, фрактальная геология, экологии и пр. И хотя такое использование математики фракталов безусловно интересно, но сомнения в целесообразности развивать эти области в рамках традиционных наук трудно преодолеть. Как уже было сказано: хотя математика фракталов бурно развивается, но прогресс в этой сфере немыслим без компьютеров. Фрактальные модели и хаос - это далеко не все, на что способны компьютер, а фрактальная модель - это конечно же не панацея. В какой-то мере фракталы - это пройденный этап, вчерашний день компьютерной математики. Новые возможности открывают динамично развивающиеся направления, такие как искусственная жизнь, эволюционные вычисления (генетические алгоритмы), нейронные сети, искусственный интеллект, продукционные системы (L-Systems) и др. Использование новых возможностей наряду со старыми действительно открывает захватывающие воображение перспективы. Так, фрактальные модели в геоморфологии открывают действительно новое, если применять их не просто для описания многообразия «неправильных структур», а как компонент эволюционных алгоритмов для изучения возможных этапов его становления. Науки о сложности не следует разделять, они помогают и нужны друг другу.
        Применимо ли все это в России? Все сказанное, конечно, необходимо рассматривать с учетом нашей, российской специфики, где новые направления обычно используются для прикрытия традиционной фундаментальной науки и до реальных результатов руки просто не доходят. Нормальная философия науки у нас только возникает. Сейчас она крайне необходима. Возникла реальная угроза тому ценному, на что способно рациональное мышление и точное естествознание [13]. Опасность эта связана с резким увеличением разновидностей альтернативных методов познания, вроде альтернативной истории, новых, еще не виданных академий, восстановления в правах веры в бога, в открытии богословских факультетов и целых институтов. Хаос и фракталы, несмотря на свое победное шествие и реальные, работающие приложения, еще не стали вполне легитимными. Эти теории плохо поддаются верификации, они возникли и развиваются только благодаря компьютерам и Computer Science -- науке, так и не ставшей у нас вполне легитимной. У этих направлений есть не только приверженцы, но и свои скептики, а также противники. Но вместо серьезного обсуждения, как правило, приходится иметь дело только с дифирамбами. Фракталы --- это конечно красивое слово и модный объект. Но применимость таких моделей не может быть универсальной. Мать-природа всегда знает лучше. Она не может ограничиться только одной-двумя моделями нерегулярности. А существующая ситуация очень настораживает [14]
        Один характерный пример использования науки о сложности. Рассмотрим теперь один пример использования возможностей науки о сложности а анализу социально-экономических систем, Ярким примером такой системы является любое современное государство. Пример относится к такой злободневной для нас проблеме, как «управление кризисами». Под кризисом понимается такое состояние системы, когда она находится в непосредственной близи или прямо к точке бифуркации, когда состояние системы способно качественным образом измениться. Детерминированный хаос, в котором пребывает находящаяся в кризисном состоянии система, внешне похож на обычную неразбериху. Состояние системы видимым образом обусловлено совокупным действием множества причин: те же непредсказуемые, разноамплитудные всплески, отсутствие какого-либо порядка и пр. Система пребывает в крайне неустойчивом, кризисном положении, как застывший над пропастью канатоходец, она потенциально готова совершить бифуркацию. Даже легкий порыв ветра способен сбросить канатоходца в пропасть, это стандартная ситуация, когда "верхи не могут, а низы не хотят". Удивительная особенность детерминированного хаоса в том, что такие системы, как бы велики они не были, очень легко управляемы. Канатоходцу для этого достаточно пошевелить пальцем, в крайнем случае, взмахнуть рукой. Нужно только в нужный момент, помочь системе, или как мы говорим, канатоходцу, удержаться. Для этого достаточно выполнить незаметное, легкое корректирующее движение.
        Технологии управления кризисами. Технологии, широко применяемые на практике в политических целях, достаточно хорошо известны. Основой таких технологий является создание кризиса [15]. Систему надо привести в кризисное состояние. При этом она теряет устойчивость и близка к точке бифуркации. В государство, где есть правительство, армия, законы и пр. достигается целым рядом мероприятий. Необходимым условием для кризиса политического является кризис экономический. Другим важным условием является личная свобода, обеспечиваемая соблюдением «прав человека». Это лишает людей возможности создавать устойчивые и массовые коалиции. Идеальное совпадение с математикой, когда люди -- это индивидуальные, независимые личности, как атомы в газе. Если эти условия не соблюдаются, то не и кризиса. Но их можно достичь. Для этого есть много технологий, главное дискредитировать то, что делало государство сильным [16] Если же кризисное состояние достигнуто, то система находиться в неустойчивом, подвешенном состоянии. Любое, самое незначительное воздействие может вызвать бифуркацию. Искусство управления состоит в том, что такое состояние можно очень длительно поддерживать минимальными усилиями.

Литература

  1. См. например, статью Нечипоренко Ю.Д. Куда ни кинь, всюду ян и инь. // Независимая газета, 5 марта, 1996, рубрика Тенденция
  2. Эксперты по этой науке, отмечают пока только четыре легитимных её определения. См., например, Аршинов В.И. Войцехович В.Э. Синергетическое знание: между сетью и принципами. // Синергетическая парадигма. Многообразие поисков и подходов. М.: Прогресс-Традиция, 2000. с.109-110.
  3. См. например. URL=http://www.teleport.com/~pdx4d/syn101.html. An introduction to Synergetics. Is Sinergetics a Science?” by Kirby Urner.
  4. Фракталы и хаос, а также многие другие темы, характерные для данного семинара, широко обсуждаются в приложениях этой науки, например, URL=http://www.calresco.org/applications.html Однако ключевые для этого семинара термины, такие как устойчивое развитие, целостность, самоорганизация или синергетика, там стараются не упоминать как можно реже, из-за их амбивалентности.}
  5. Хициенко В.Е. Хаотический режим как становление поведения самоорганизующейся системы. // Порядок и хаос в развитии социально-экономических систем. Томск, ИОМ, 1998.
  6. Stewart I. Doas God play Dice? The mathematics of Chaos. Basil Blackwell Inc., Reprint 1990, pp.215-242
  7. Ibid., pp.197-208. См. также работу: .Ахромеева Т.С., Курдюмов С.П, Малинецкий Г.Г. Парадоксы мира нестационарных структур. М.: Знание, 1985, с.21-29.
  8. Ю.А.Даниоов. Красота фракталов. // Синергетическая парадигма. Многообразие поисков и подходов. М.: Прогресс-Традиция, 2000. с.187-190
  9. Heinz-Otto Peitgen and Peter H.Ritcher The Beauty of Fractals/ New York: Springer, 1986.
  10. Тарасенко В.В. Фрактальная геометрия природы: социокультурное измерение. // Синергетическая парадигма. Многообразие поисков и подходов. М.: Прогресс-Традиция, 2000. с.191-214.
  11. В конце прошлого года журнал Emergence, распространяемый в Интернете, проводил опропос читателей. В заголовке нужно было написать: «Что является наукой о сложности?» и название своей версии, например, «К теории организации». Итоги пока не подведены, но победители получат право написания обзорной статьи.
  12. Stewart I. Doas God play Dice? The mathematics of Chaos. Basil Blackwell Inc., Reprint 1990, pp.233-242.
  13. «Появилось довольно много работ, в которых авторы бойкой скороговоркой открывали глаза ничего не подозревавшему человечеству на то, что "обработка лингвистической информации на синтаксическом и лингвистическом уровнях определяют фазовые переходы на мультифрактальных множествах", что "число возможных паттернов в словообразовании резко ограничено неоднородными диссипативными хаотическими потоками, обусловленными мультифрактальностью как на одном аттракторе, так и в перемежающихся перескоках с одного из сосуществующих атгракторов на другой" и т.п.» Данилов Ю.А. Роль и место синергетики в современной науке. URL=http://www.iph.ras.ru:8101/~mifs/rus/article.htm
  14. Капица С.П., Курдюмов С.,П., Малинецкий Г.Г. Синергетика и прогнозы будущего. М.: Наука, 1997. Из Введения: "От ряда конференций по синергетике сейчас остается такое же впечатление. Употребление красивых терминов или магических формул не гарантирует, что доклад имеет к ней какое-то отношение. После того, как авторам этих строк в прошлом году довелось услышать, что "Бах офракталивал свои произведения" и что "синергетику надо внедрять в культуру и культуру в синергетику", стало ясно --- для синергетики опасность "растворения" и утраты смыслов вполне реальна.
  15. Хаос и кризисы в международных системах. Доклад на Симпозиуме по Технологии Форм управления кризисами. Монж, Бельгия, 3/19-20/92. On leave of absence from the Santa Fe Institute, 1660 Old Pecos Trail, Santa Fe New Mexico email: gmk@santafe.edu Gottfried Mayer-Kress, Mon Jan 25 1993,1. Из аннотации: "Они [Эти методы] могут служить парадигмой для сложного нового всемирного порядка, возникшего после конца холодной войны, когда сценарии тонкого управления кризисами пришли на смену методам простого удержания и подавления". Перевод. мой, А.М.
  16. "Поскольку подражание американскому пути развития постепенно пронизывает весь мир, это создает более благоприятные условия для установления косвенной и на вид консенсуальной американской гегемонии. Как и в случае с внутренней американской системой, эта гегемония влечет за собой комплексную структуру взаимозависимых институтов и процедур, предназначенных для выработки консенсуса и незаметной асимметрии в сфере власти и влияния". З.Бжезинский. Великая шахматная доска (Господство Америки и его геостратегические императивы) М.: Междунар. отношения, 1998, с.40.

Оглавление