Оглавление

ВЗАИМООБУСЛОВЛЕННОСТЬ ХАОТИЧНОСТИ И ФРАКТАЛЬНОСТИ
В.Е. Хиценко

Новосибирский государственный технический университет

        К концу ХХ в. сформировалось междисциплинарное научное направление – теория самоорганизации или синергетика. Слияние физики неравновесных процессов, теории бифуркаций и катастроф, фрактальной геометрии и динамического хаоса, некоторых направлений биологии, социологии и психологии, изучающих спонтанно возникающие порядки, вызвало к жизни новую парадигму системной теории. Получены концептуально новые механизмы объяснения феноменального поведения сложных систем любой природы. В этой работе мы обсудим некоторые особенности таких артефактов самоорганизации как фракталы и динамический хаос с целью демонстрации связи самоподобных системных эффектов с нерегулярной цикличностью системного поведения.

        После появления книги Б.Мандельброта [1] стали говорить о новой геометрии, позволяющей изучать горные хребты, облака, линии побережья, объекты живой природы. Гладкие классические формы вдруг оказались очень узким классом, таким редким явлением, как натуральные числа среди вещественных. Нам стала доступной фрактальная гармония мира с присущей ей сложностью и глубиной. Мы имеем теперь два различных способа геометрического описания, две модели, находящихся в отношении дополнительности, известном в теоретической физике. Именно, если истинна одна из этих моделей, то невозможно судить о ложности или истинности другой. Выбор модели зависит от позиции и установок наблюдателя.
        Математика сталкивалась с подобными объектами и раньше. Известны функции, нигде не имеющие производных, множества, не являющиеся ни счетными, ни несчетными и т.п. Эти всюду изломанные, дырявые,бесконечно изрезанные и скрученные "монстры" игнорировались в серьезных обсуждениях. Теперь они признаны, хотя до сих пор отсутствует математически строгое определение фрактала.
        Рассмотрим снежинку Коха - один из самых известных фракталов. На рис.1 показаны начальные стадии его построения, которые и дадут нам этот фрактал, как предел при бесконечном их повторении.
        Покажем несколько достаточных признаков фрактальности, которые, впрочем, не являются необходимыми. Самоподобие, как один из них, вполне очевидно. Можно взять любой фрагмент границы снежинки и увидеть, что он подобен целому, повторяет его в меньшем масштабе, позволяет увидеть принцип построения фрактала. Это называется масштабной инвариантностью. Другой достаточный признак фрактала - дробная размерность, поясняется не так просто и легко.
        Если привычный, правильный геометрический объект разбивать на малые клетки, кубики со стороной e , то их количество N будет пропорционально 1/e d, где d - размерность объекта. Понятно, что для линии d=1, для поверхности d=2, объем окажется трехмерным телом. Легко показать, что эту размерность самоподобия можно найти как d=logN/log(1/e) , где основание логарифма может быть любым. Для оценки размерности тел неправильной формы естественно уменьшать e и вычислять так называемую размерность Минковского [1] [3], использующую N(e) - минимальное число клеток решетки, кубиков со стороной e, необходимых для покрытия тела

, (1)

        Эта размерность, в сущности, отражает прирост числа фрагментов, покрывающих форму при бесконечном уменьшении их линейного размера.
        Вернемся к рис.1. На любой стадии его построения можно взять прямолинейный участок границы, разделить его на три равные части (e 3) и увидеть, что на следующей стадии длина этого же участка составит уже четыре этих части (N). Таким образом, размерность самоподобия линии, ограничивающей снежинку Коха, равна d=4/3=log34= 1,2618…и она не изменится при предельном переходе (1). Мы получили дробную, фрактальную размерность, отличающуюся от топологической размерности [2] линии, с которой началось построение. Граница снежинки фрактальна, это уже не линия, но еще не поверхность. Если мы станем измерять периметр снежинки или береговую линию реального острова, то увидим, что она неограниченно растет с уменьшением раствора измерительного циркуля. Ведь при уменьшении его в 3 раза длина кривой Коха увеличится в 4/3, затем в (4/3)2 и т.д. и в пределе получим бесконечность. Топография столкнулась с этим явлением еще в начале прошлого века. Теперь уже известно, что фрактальная размерность западного побережья Англии приблизительно равна >1,25, для Норвегии ее значение 1,5 , для Австралии 1,07. После этого говорить о длине береговой линии не приходится, можно судить лишь о степени ее извилистости.


Рис.2. Фрактал, называемый "губкой Серпинского".

        «Любимая,я подарю тебе остров, берега которого бесконечны, но фрактальны, к сожалению, так что мы там даже курятник не построим». Отнюдь не бессмысленна эта фраза. Кстати, площадь снежинки Коха равна 8/5 площади исходного треугольника.

        Фракталы геометрически неуловимы, ведь мы не можем локализовать границу, не можем указать длину, площадь, объем. Они могут оказаться нулевыми или бесконечными. Мы не можем отделить часть от целого. Отец фракталов Бенуа Мандельброт назвал созданную им теорию морфологией бесформенного. Здесь возможно лишь предписание в виде алгоритма, способа построения вместо описания. Подобно этому, не пытаясь рассказывать о красоте симфонии, можно передать ее партитуру. Алгоритм формирования математического фрактала обычно достаточно прост и компактен, но при попытках найти его для естественных, природных фракталов возникают существенные трудности. Эта проблема очень актуальна для кодирования и передачи изображений [4].


Рис.3. Несколько промежуточных этапов формирования растительного фрактала

        Линии, поверхности, объемы, а также воображаемые тела, размерностью свыше 3 , нужно бесконечно долго вырезать, изгибать, протыкать или скручивать, чтобы предел (1) стал отличаться от топологической размерности и получился фрактал. При этом некоторые линии типа кривой Пеано [3] и ей подобных узоров будут плотно заполнять кусок плоскостии их размерность Минковского достигает 2. То есть, не является дробной, но превышает топологическую размерность линии.

        Фрактал может выглядеть как всюду неплотное множество точек, и это представляет особый интерес в приложениях. Простейшим фракталом такого типа является канторовское множество средних третей. Способ построения заключается в бесконечном выбрасывании средней трети из всех остающихся после этого кусков первоначального отрезка. В итоге отрезков не остается, но точек столько же, сколько было в исходном отрезке. Масштабная инвариантность видна, размерность, как нетрудно показать, меньше единицы и равна d=log2/log3=0,6309…. Это фрактал, “канторовская пыль”. На рис.2 показана одна стадия превращения куба в пыль аналогичным способом. Размерность такой всюду дырявой губки составит d=log20/log3=2,7268….
        Алгоритмом[3] формирования регулярных фракталов служит преобразование Хатчинсона [3]. Возьмем в качестве начальной некоторую форму А0 . На первом этапе построения получим форму А1=Т(А0), где оператор Т преобразует А0 в соответствии с конкретным типом фрактала. Например, для фрактала на рис.3 исходный листок А0 превращается в А1 , в объединение m=5 листков, подвергнутых аффинному преобразованию, то есть, масштабированных, повернутых и смещенных необходимым образом. Это можно записать в виде А1=Т(А0)= . Следующий этап построения этого растительного орнамента А2=Т(А1) как бы размножает листки в более мелком масштабе. Продолжая итерации Аk=Т(Аk) , k=0,1,2,… получим в пределе фрактал, который, таким образом, инвариантен относительно формирующего преобразования. Именно идентификация оператора Т происходит при анализе рисунка с целью сжатия информации для его описания и передачи. Известны и другие принципы и алгоритмы построения фракталов [3, 5].


Рис.4. Множества Жюлиа при различных значениях параметра С.

        Если ввести небольшие случайные возмущения в эти итерации, то получим фракталы, не отличающиеся от реальных растений, кристаллов и горных ландшафтов. Эта техника используется в компьютерной графике. Характерно, что в природе итерационный процесс остановится, достигнув клеточных или молекулярных размеров, в компьютерном эксперименте нас остановят ограниченная точность вычислений или предельные возможности экрана. Так что любой фрактал представляет собой математическую идеализацию, как, впрочем, и гладкие классические формы.


Рис.5. Множество Жюлиа и несколько последовательных увеличений его фрагментов a, b, c, d.

        Объектами фрактальной геометрии являются и нерегулярные фракталы, алгоритмы построения которых не очевидны, и рандомизированные фракталы с вероятностными механизмами формирования. Например, броуновский случайный процесс – это фрактальное множество, но физически наблюдаемое броуновское движение – это природный фрактал. У естественных фракталов обычно наблюдается статистическое самоподобие при изменении масштаба или подобие в топологическом смысле. Введены в обиход [2] также самоаффинные фракталы. Это более широкий класс объектов. При этом в ходе построения сжатие фрагментов, в общем, не одинаково в различных направлениях. В частности, меняются углы, и увидеть фрактальность непросто. Отличаются здесь и размерности, полученные различными способами. Известны мультифракталы с целым набором размерностей. Современные физические исследования непрерывно расширяют эту классификацию, открывают новые природные фракталы и развивают методы их анализа.


Рис.6. Множество Мандельброта и множества Жюлиа, соответствующие параметру С в центре окошка.

        Рассмотрим еще пару знаменитых фрактальных множеств. Если z и c есть комплексные числа, то процесс итераций zk+1= zk2+c , начинающийся с z 0 , будет перемещаться по комплексной плоскости. Можно увидеть, что, выбирая z0 в некоторой области и запуская итерации, мы не получаем неограниченно больших значений zk и остаемся в пределах области. Стартуя из точки вне этой области, мы неизбежно устремляемся к бесконечности. Граница области притяжения к бесконечности называется множеством Жюлиа [4]. На рисунках в книгах, посвященных фракталам, обычно закрашивают черным цветом всю область, охваченную границей. Конфигурация ее удивительно своеобразна и существенно зависит от константы c. На рис.4 видно, что при некоторых значениях c эта область связна, а при других - несвязна (архипелаг).
        Множество Жюлиа явно фрактально и на рис.5 показан последовательный процесс увеличения выделенных фрагментов. В итоге мы получаем фрагмент исходного множества увеличенный примерно в 646000 раз. Именно ограниченная точность компьютера сглаживает в итоге контуры, математически множество Жюлиа будет бесконечно долго повторять свой характерный рельеф, так как это фрактал. Можно предположить самоаффинность, но идентифицировать механизм построения очень непросто.


Рис.7. Области притяжения корней уравнения z3-1=0 при его решении методом Ньютона.

        Если теперь на комплексной плоскости мы выделим зону значений c , при которых область, ограниченная множеством Жюлиа, связна, то получим знаменитое множество Мандельброта. На рис.6 приведен этот фрактал и показаны в окошках множества Жюлиа при конкретных значениях c, совпадающих с центром окошка.
        Допустим, что мы хотим найти решения уравнения z3-1=0 и используем для этого алгоритм Ньютона zk+1=zk-(zk3-1)/3 zk2, то есть, берем произвольное комплексное число z0 и запускаем итерации. Наше уравнение имеет три решения, три кубических корня единицы: a=1, b=-1/2+iÖ3/2, c=-1/2-iÖ3/2. Однако при попытке локализовать области притяжения этих корней оказалось, что границы всех трех областей совпадают. Другими словами, придавая этим областям на экране разные цвета, мы получаем решение известной задачи о раскраске плоскости тремя цветами так, что каждая граничная точка одной области, скажем, белой, служит также граничной и для двух других областей (см. рис.7). Мы видим, что эта фрактальная граница получается как бы в результате бесконечной борьбы за все уменьшающиеся участки. Фрактал бесконечно достраивает сам себя.
         Не так ли происходит в диссипативных структурах, в синергетических системах когерентного взаимодействия частей? Они как бы подвешены в потоках вещества, энергии и информации, и конкуренция микроактивностей при определенных условиях приводит к эффектам самоорганизации на макроуровне.
         Детерминированный хаос. Обратимся теперь к явлению, называемому детерминированным хаосом. Это непредсказуемое поведение динамических систем, внешне напоминающее случайные флуктуации. Однако механизм, производящий такую динамику, оказывается детерминированным, однозначным, не содержащим источников случайного шума или бесконечного числа степеней свободы, то есть, не имеющим отношения к теории вероятностей.
         Динамическая система это модель движения материи в силовом поле в виде оператора, действующего в пространстве состояний M. Состояния системы образуют вектор x=(x1, x2, … xn), являются осями этого пространства и связаны с наблюдаемыми количественными характеристиками системы. Состояниями могут быть, например, концентрации веществ в химической реакции, численности популяций в системе их взаимодействия, положение, скорость и высшие производные координат материального тела и т.п. Изменения вектора состояний в M , то есть, движение точки x(t) полностью определяется векторным полем скоростей f(x(t)), называемым также оператором эволюции системы. Такая модель динамики соответствует автономному дифференциальному уравнению (2)

(2)

        Если время меняется дискретно, то динамика описывается отображением

xk+1=F(xk). (3)

        Это может быть результатом разностной аппроксимации уравнения (2) или отображением Пуанкаре[5], или единственно возможной моделью динамики, если состояния удается фиксировать лишь в изолированные моменты времени k=0,1,2,...


Рис.8. Аттрактор и процессы изменения состояний системы ( 4 ).

        Можно выделить в пространстве состояний некоторую область точек , отобразить ее в другую область и т.д. и наблюдать трансформации исходной области в ходе эволюции. Если объем области в среднем убывает с течением времени, то динамическая система называется диссипативной, рассеивающей энергию. Таковы все реальные системы. Уменьшение объема означает стремление фазовых траекторий к некоторой области BÌM, не имеющей объема в M и, следовательно, обладающей меньшей, чем у M размерностью. Множество точек, составляющих область B, называется аттрактором. Динамическая система может иметь несколько аттракторов в M и каждый обладает своим бассейном притяжения, то есть, областью таких начальных значений x0, стартуя с которых, неизбежно приходим в конкретный аттрактор.
        Простейший аттрактор – это неподвижная точка отображения (3) и на рис.7 показаны три бассейна притяжения трех неподвижных точек a, b, и их общая фрактальная граница. Система может придти к периодическому движению и тогда аттрактором системы (2) будет замкнутая кривая, называемая предельным циклом, или набор периодически посещаемых точек для дискретной системы (3). При некоторых условиях аттрактором системы (2) будет поверхность размерности n-1, топологически эквивалентная тору в n-мерном пространстве M. Все это примеры регулярных аттракторов динамических систем, гладких дифференцируемых многообразий в М. Траектория не выходит из аттрактора, это инвариант динамической системы (F(B)=B).
         Сравнительно недавно в непрерывных системах вида (2) при n>2 были получены аттракторы, представляющие собой бесконечный клубок фазовых траекторий, заполняющий в M область довольно сложной конфигурации[6]. При этом именно условие n>2 необходимо, чтобы исключить пересечение и самопересечение траекторий и тем обеспечить единственность бесконечной траектории, начинающейся в конкретной начальной точке x0. В дискретных системах вида (3) при любой их размерности могут существовать аттракторы в виде нигде не плотного множества точек канторовской структуры, то есть представляющие собой фрактал. Сечения Пуанкаре странных аттракторов непрерывных систем также дают нам канторовскую пыль, как фрактальный носитель этого клубка траекторий. Такие аттракторы были названы странными.
         Процессы изменения состояний при движении системы в странном аттракторе выглядят обычно нерегулярными хаотическими флуктуациями в ограниченном диапазоне, и именно такую динамику называют режимом детерминированного или динамического хаоса. Состояния системы в таком режиме не могут повторяться, так как в силу детерминированности оператора эволюции сразу же возникнет периодичность и предсказуемость. На рис.8 показан странный аттрактор и изменения состояний системы, описываемой дифференциальными уравнениями (4).

(4)

        Отличительной особенностью движения в странном аттракторе, служит экспоненциально быстрый разбег двух соседних фазовых траекторий и связанное с этим явление перемешивания точек исходной области W0 по всему аттрактору. При этом область трансформируется достаточно причудливым образом, хотя и остается связной и уменьшающейся в объеме. Две первоначально близкие точки из W0, попав в аттрактор, начинают стремительно удаляться друг от друга[7]. Это порождает чувствительность к точности задания начальных условий и принципиально ограничивает прогноз поведения системы. Даже имея точную модель реального явления, мы не сможем абсолютно безошибочно измерить и установить стартовые значения состояний для компьютерной имитации поведения с целью прогноза. Таким образом, при вполне детерминированном механизме в виде (2) или (3) мы сталкиваемся с непредсказуемостью, свойственной хаосу и случайности. А.Пуанкаре в 1908 г., говоря об особенностях динамики неинтегрируемых систем, заметил, что “совершенно ничтожная причина вызывает значительное действие, которое невозможно было предусмотреть”.
         Было обнаружено, что странность аттрактора и экспоненциальная неустойчивость, хаотичность, траекторий в нем не всегда “ходят рядом”. Встречаются системы [4], сочетающие фрактальную структуру аттрактора с отсутствием перемешивания. Эти результаты еще мало изучены и нуждаются в строгом уточнении и осмыслении.
         С учетом последнего замечания можно сформулировать необходимые условия существования детерминированного хаоса:

        Необходимым и достаточным условием является экспоненциальная неустойчивость фазовых траекторий, приводящая к распределению точек исходной области по всему аттрактору и к принципиальной ограниченности возможности прогнозирования.
         Связь хаотичности и фрактальности. Фрактал связан с хаосом как результат с процессом. Природные фракталы получаются в итоге некоторого итеративного развития, генезиса в неравновесных диссипативных средах. Естественный отбор ведет к виду как аттрактору. Это эффекты самоорганизации. Чувствительность этих процессов к стартовым условиям и к среде приводит к невозможности детального предсказания, всегда имеет место пусть незначительное, но несходство кристаллов, организмов, общественных формаций и прочих результатов взаимодействия частей.
         Но и сам динамический хаос, как процесс, может иметь фрактальное происхождение. Бассейны притяжения многих аттракторов, как странных, так и регулярных имеют фрактальную структуру. Причем фрактальны не только границы бассейнов, как у отображения Жюлиа (рис. 4 и 5). В отличие от областей притяжения на рис.7, где фрактально переплетены лишь границы, сами бассейны могут чрезвычайно многослойно, фрактально перемешаны между собой [4], могут быть мультифракталами. Невозможно угадать, куда притянется начальная точка, задаваемая с ограниченной точностью, и появляется гиперчувствительность к начальным условиям. Малейший дрейф параметров системы переводит текущее состояние из одной области притяжения в другую, что естественно приводит к хаотичности и непредсказуемости дальнейшего поведения.
         Масштабная инвариантность фрактала не позволяет нам его измерить и локализовать в пространстве. Какую бы малую окрестность точки мы не взяли, в ней есть копия всего фрактала, точнее, в ней бесконечно много копий. Образно говоря, как бы старательно не затачивал я карандаш, чтобы обозначить начальную точку на идеально фрактальной области, динамика дальнейшего развития может оказаться любой из принципиально возможных на всей этой области. Тонкая структура фрактала может быть следствием и причиной сложного хаотического поведения.

Литература

  1. Mandelbrot B. The Fractal Geometry of Nature, W.H.Freeman and Company, New York, 1982.
  2. Мандельброт Б. Самоаффинные фрактальные множества // Фракталы в физике. М., Мир, 1988.
  3. Кроновер Р.М. Фракталы и хаос в динамических системах. М., Постмаркет, 2000.
  4. Анищенко В.С., Вадивасова Т.Е., Астахов В.В. Нелинейная динамика хаотических и стохастических систем. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1999.
  5. Prusinkiewich P., Lindenmayer A. The Algorithmic Beauty of Plants. Berlin, Springer-Verlag, 1990.
  6. Хиценко В.Е. Несколько шагов к новой системной методологии. Социологические исследования, №3, 2001.


[1] Фрактальная размерность называется так потому, что допускает дробные значения. Существуют несколько способов ее определения, которые нередко дают разные значения. Предел (1) иногда называют размерностью Хаусдорфа-Безиковича, но она определяется в математике несколько сложнее, чем (1) [ 3 ].

[2] Это также является достаточным признаком фрактальности. Заметим, что топологическая размерность определяется индуктивно и принимает значение 1 на любых линиях, 2 на любых поверхностях и т.д.

[3] Математически строгое изложение преобразования Хатчинсона использует пространство компактов с метрикой Хаусдорфа [ 3 ].

[4] Французский математик Г.Жюлиа в 1918 г. опубликовал статью, где были доказаны теоремы об областях притяжения корней комплексных степенных полиномов более общего вида.

[5] Если поместить в M некоторую поверхность, то траектория (фазовая) движения точки x (t) может пересекать ее, образуя сечение Пуанкаре. Отображением Пуанкаре называется связь хронологически соседних точек сечения в виде (3).

[6] Строго говоря, такой аттрактор не является конечным объединением гладких многообразий. Его размерность меньше размерности пространства состояний и обычно дробна.

[7] Это означает, что в спектре показателей Ляпунова, характеризующих устойчивость фазовой траектории, есть хотя бы один положительный, что и поддерживает экспоненциальный рост отклонения.

Оглавление