Оглавление

ЦИКЛИЧНОСТЬ, СТОХАСТИЧНОСТЬ И ФРАКТАЛЬНОСТЬ В ПРОЦЕССАХ ФОРМИРОВАНИЯ РЫНОЧНЫХ ЦЕН
Р.А. Браже

Ульяновский государственный технический университет

        В работе [1] была предложена новая экономическая величина - потенциальная функция рынка U(x), определяемая кривыми спроса D(x) и предложения S(x) как U = (DS)-1, где x = p - pc - отклонение цены от ее клирингового значения. Задание этой функции по результатам предварительных рыночных сделок позволяет исследовать динамику цен на товары методом фазовой плоскости и по фазовому портрету построить график ее колебаний. На рис. 1 представлены зависимости D(x), S(x), U(x) - (a), фазовые портреты и графики динамики цены на один товар в случае отсутствия механизмов сопротивления - незатухающие колебания (б), при наличии слабого затухания (в) и при апериодическом приближении цены к клиринговому значению (г).
        Уравнение динамики цен в отсутствие сопротивления можно записать в виде [1]

, (1)

        где m - денежная масса. Оно легко интегрируется:

, (2)

        где E - полная энергия денежной массы. Из (2) скорость изменения цены находится в виде

, (3)

        Выражение (3) описывает семейство траекторий экономической системы на фазовой плоскости . Из него следует, что движений с начальной энергией не существует, так как величина получается мнимой. Точкам с dU/dx = 0 соответствуют равновесные значения, причем в точках минимума () будут иметь место устойчивые равновесия (клиринговые цены). Вблизи этих точек - центров движение изображающей точки на фазовом портрете происходит по замкнутым траекториям (рис. 1, б).
        До сих пор система считалась изолированной, а происходящие в ней колебания свободными. В реальных условиях спрос и предложение испытывают возмущения, связанные с флуктуациями численности покупателей, их покупательной способности, моды на данный товар, воздействием рекламы и др. факторов. Это вызывает возмущения потенциальной функции рынка U(x) и блуждания фазовой траектории в пределах некоторого ограниченного по площади кольца - аттрактора (рис. 2, а). Характер колебаний цены также изменится: в окрестности некоторых средних значений будут меняться их амплитуда и частота.
        Здесь возможны два случая [2]: хаотический аттрактор, когда движение системы недетерминировано, а фазовые траектории могут слипаться, и стохастический аттрактор, когда в системе сохраняется память о предыдущих состояниях (детерминированный хаос). Большинство природных процессов имеет фрактальный характер, отвечающий стохастическому аттрактору. Это обеспечивает им более высокую степень защищенности от случайных повреждений структуры и оптимальную приспособляемость к изменяющимся условиям среды [3, 4]. В экономических системах действует принцип опережающего отражения Анохина [5]. Поэтому их фазовые портреты обычно содержат стохастические аттракторы, а происходящие в них ценовые колебания характеризуются фрактально изменяющимися параметрами типа фликкер-шума (рис. 2, б). В этом можно убедиться, исследуя характер зависимости вероятности того или иного значения цены от частоты ее колебаний (рис. 3, а):

, (4)

        Выражение (4) является модификацией распределения Ципфа-Парето [4]. Здесь f - безразмерная частота колебаний (f ³ 1), a ³ 0. В логарифмическом масштабе эта зависимость является линейной с угловым коэффициентом a (рис. 3, б). Значение a = 0 соответствует белому шуму, при котором в колебаниях наблюдается полный хаос (все гармоники равномерно распределены по частотам и имеют одинаковые интенсивности. При a ® ¥ в системе имеет место полное упорядочение колебаний (одночастотный режим). Случай a = 1 отвечает режиму самоорганизованной критичности [4], при котором характеристики колебаний изменяются самоподобным образом (фликкер-шум). Именно этот режим (на границе хаоса и порядка) является стохастически устойчивым. В докритических состояниях (a >1) система продолжает монотонно эволюционировать в сторону повышения удельного веса высокочастотных гармоник, а надкритические состояния (a < 1) лавинообразно распадаются на докритические.

рис. 1

         При слабозатухающих колебаниях цены (рис. 1, в) фракталоподобные изменения параметров сохраняются. Однако рынок является примером активной среды, где действуют механизмы саморегуляции (конкуренция, деятельность перекупщиков, контроль со стороны криминальных структур и т.п.). Поэтому в идеальном случае должны были бы возникнуть автоколебания цены с некоторой стационарной амплитудой, соответствующей размерам предельного цикла на фазовом портрете (рис. 4, а). Но уже упомянутые выше возмущающие факторы размывают этот предельный цикл до стохастического аттрактора, подобного изображенному на рис. 2, а, только более узкого (рис. 4, б).
        Таким образом, реальная динамика рыночных цен имеет фракталоподобный характер, но лишь приближенно может рассматриваться как фликкер-шум. Угловой коэффициент прямых на графиках типа рис. 3, б принимает значения a » 1. Чем ближе это значение к единице, тем динамичнее рынок, тем выше его емкость и возможности расширения границ. Отсюда ясна роль маркетингового менеджмента и его служб, в том числе системных аналитиков, способных ставить и решать задачи математического моделирования рынка.
        Работа поддержана ФЦП “Интеграция” (код проекта А - 0066).

Литература

  1. Алешина Е.В., Браже Р.А., Грешнова А.А. Физические аналогии в экономике // “Физическое образование в вузах”. Журн. Моск. физич. об-ва. Сер. “Б”. 1997. Т. 3. № 2. С. 42 - 50.
  2. Ланда П.С. Нелинейные колебания и волны. - М.: Наука. Физматлит, 1997.
  3. Kauffman S. Origins of Order: Self-Organization and Selection in Evolution. Oxford University Press, 1992.
  4. Bak P. How Nature Works. N.Y.: Copernicus, 1996.
  5. Анохин П.К. Философские вопросы теории функциональных систем. - М.: Наука, 1978.

Оглавление