Оглавление

ОБ ОДНОЙ РАВНОВЕСНОЙ МОДЕЛИ
СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННОГО ПРОИЗВОДСТВА

Шмырёв В.И.

Институт математики СО РАН, Новосибирск

        Вопросы правильного налогообложения земли занимают одно из главных мест в организации рационального землепользования, что в конечном счёте является определяющим в хозяйственной жизнедеятельности общества. Известный американский экономист прошлого века Г.Джордж считал, что если правильно исчислять земельный налог, то только его и следует оставить, отменив все прочие налоги, и это привело бы к всеобщему процветанию [1]. Именно неверное налогообложение землепользователей, по мнению Г.Джорджа, с неизбежностью ведёт к быстро прогрессирующему разрыву между богатством и бедностью, что всегда приводило к загниванию и гибели цивилизаций, в то время как правильное исчисление налога на землю обеспечивает установление некоего равновесного состояния, что и способствует расцвету всего жизненного уклада.

        Цель настоящей работы состоит в том, чтобы обратить внимание на возможность применения для исследования взаимосвязанных вопросов экономического равновесия и налогообложения в сельскохозяйственном производстве аппарата линейного программирования. На возможность использования двойственных переменных (объективно обусловленных оценок) для исчисления земельной ренты указывал неоднократно ещё Л.В.Канторович (см. [2]). В работее рассматриваются вопросы, связанные с проблемой экономического равновесия в сельскохозяйственном производстве региона. В предположении фиксированных удельных затрат на оплату труда и технического обеспечения производства, а также заданном наборе возможных технологий для каждого хозяйства, ставится задача об установлении таких цен на сельхозпродукцию и выплат за использование земли, при которых отдельные участники производства (хозяйства), решая свои задачи о получении максимального дохода в расчёте на единицу затрат, обеспечивали бы максимальный суммарный выпуск продукции в заданном ассортименте.

        Показано, что решение поставленной задачи достигается в рамках ассмотрения специальной параметрической модели линейного программирования.

        Пусть в рассматриваемом регионе имеется n хозяйств, которые производят m продуктов. Каждое хозяйство характеризуется определённым ресурсом земли,, предназначенной для производства сельхозпродукции. Обозначим через li количество гектаров такой земли в i-м хозяйстве.

        Будем считать, что всё многообразие вариантов использования имеющегося земельного ресурса i-го хозяйства достаточно хорошо описывается через некоторое конечное множество долгосрочных программ в виде комбинированных вариантов их использования. Каждая такая программа уже учитывает необходимую технологическую специфику сельского хозяйства (севооборот и т.п.) и характеризуется определёнными нормативными показателями выпуска продукции и необходимых затрат для реализации программы (в расчёте на 1 га используемой земли). Пусть в i-м хозяйстве имеется таких технологических программ и j-я программа обеспечивает в расчёте на 1 га выпуск единиц s-го продукта, требуя при этом (в расчёте на 1 га) затрат в объёме денежных единиц. Предполагается, что хозяйство может по j-й программе использовать любое количество своей земли. При этом как выпуск продукции, так и затраты пропорциональны количеству земли, выделенному под данную программу. Если через обозначить количество гектар, используемых в i-м хозяйстве по j-й программе, то суммарный выпуск s-го продукта в этом хозяйстве составит , а затраты будут задаваться величиной .

        Пусть заданы цены на продукцию и выплаты за пользование землёй. Скажем, — цена единицы s-го продукта, а — плата за использование 1 га в i-м хозяйстве. Тогда хозяйство получит от реализации своей продукции, заплатив за эту возможность суммарно денежных единиц . Стремясь максимизировать эффект от одной вложенной денежной единицы, приходим к задаче дробно - линейного программирования

(1)

при условии

(2)

. (3)

        Возникает вопрос: каковы должны быть цены и платежи , чтобы, решая указанные задачи, мы получили планы хозяйств, дающие вместе максимальный эффект с точки зрения региона в целом?

        Относительно регионального интереса кажется мотивированной такая гипотеза: регион заинтересован в том, чтобы производимой продукции было как можно больше, но с соблюдением некоторых пропорций. Немного более общая формулировка могла бы состоять в том, что требуется обеспечить некоторый фиксированный уровень производства по каждому продукту, а то, что производится сверх того, должно уже производиться в некотором ассортименте. Будем рассматривать простейший вариант, когда фиксированный уровень производства не оговаривается, а ассортимент задаётся числами .

        Тогда поставленный вопрос уточняется следующим образом: нужно найти такие и , чтобы среди оптимальных решений задач (1 - 3) нашлись такие , что

и при этом было как можно больше. Такие и , вместе с указанным набором , естественно называть равновесным состоянием.

        Покажем, что в рассматриваемом случае отыскание равновесного состояния сводится к исследованию некоторой параметрической задачи линейного программирования. Эта задача имеет вид

(4)

при условиях

(5)

(6)

(7)

Здесь является параметром.

        Ясно, что задача (4 - 7) будет разрешимой лишь при , где — оптимальное значение в задаче максимизации , при условиях (5 -7). Из теории параметрических задач линейного программирования следует, что всё множество значений параметра , при которых задача (4 - 7) разрешима, покрывается последовательно примыкающими друг к другу отрезками неизменности оптимального базиса. Рассмотрим последний из них, т. е. примыкающий к отрезок . Будем предполагать, что при всех и всех . Это означает, что каждое хозяйство в принципе может производить любой продукт.

        Ясно, что при выполнении этого предположения для на оптимальном решении задачи (4 - 7) неравенства (5) выполняются как равенства. Кроме того предполагаем, что набор технологических программ в рассматриваемых хозяйствах достаточно разнообразен, чтобы ни один из продуктов в оптимальном плане не производился сверх оптимального уровня по региональной программе . Иными словами, все неравенства (6) на оптимальном решении задачи (4 - 7) при также выполняются как равенства.

        Пусть — отвечающее отрезку оптимальное базисное множество задачи (4-7) и ,, , , оптимальные значения двойственных переменных, порождаемые этим множеством. Это означает, что

1) (8)

2) влечёт равенство в соответствующем неравенстве предыдущей группы условий.

        С учётом сделанных предположений и допуская определённые вариации величин , мы можем считать все и положительными.

        Пусть — оптимальные интенсивности использования рассматриваемых технологических программ хозяйств, обеспечивающие минимум функции затрат (4) в задаче (4 - 7) при . Это означает, что если по j-й технологической программе в i-м хозяйстве обрабатывать гектар земли, то суммарно по всем хозяйствам будет произведено s-го продукта в объёме. При этом, если , то и в соответствующем неравенстве (8) достигается равенство. Из этого следует, что если умножить неравенства (8), отвечающие одному какому-то i на соответствующие и сложить, то получим

(9)

С учётом того, что , отсюда получим

        С другой стороны, если проделать описанную процедуру с другими значениями задающими план использования земли в i-м хозяйстве, то вместо равенства (9) мы получим уже лишь аналогичное неравенство и, как следствие,

        Это означает, что если принять в качестве цен на продукцию , а в качестве платы за использование одного гектара земли в i-м хозяйстве взять то такие и вместе с полученными значениями и задают искомое равновесное состояние.

        Следует отметить, что использование оптимальных значений переменных задачи (4 - 7) для исчисления цен и платежей за землю имеет под собой достаточно убедительную мотивацию. Дело в том, что большей частью (в невырожденных ситуациях) эти значения сохраняются и при малых вариациях правых частей в ограничениях (5-6) и имеют следующий смысл: если рассматривать минимальные затраты на реализацию плана в задаче (4 - 7) как функцию правых частей указанных ограничений, т. е.

,

где , то

,

        Иными словами, указывает, на сколько увеличатся оптимальные затраты на реализацию плана в расчёте на 1 единицу дополнительно производимого s-го продукта. Аналогично, указывает, на сколько уменьшатся упомянутые затраты, в расчёте на один дополнительно использованный гектар земли в i-м хозяйстве. Таким образом, и указывают объективную ценность в рассматриваемой ситуации продуктов и земли, выраженную в единицах измерения целевой функции (4), т.е. в деньгах, идущих на покрытие затрат на реализацию плана.

        Конечно, нужно подчеркнуть, что указанные выводы о ценности земли и продуктов относятся к данной конкретной ситуации и справедливы при изменении её лишь в известных пределах. Но это заложено в самой природе цены. При окончательном принятии решения о ценах и платежах нужно учесть динамику изменения и при изменении и , а возможно, и многие другие факторы, от которых мы абстрагировались при построении модели. Речь идёт лишь об отправной точке при подобного рода исследованиях.

        Более существенное возражение может состоять в том, что при такой политике цен и налогов хозяйства работают как бы без прибыли, ибо все средства, полученные от продажи продуктов, расходуются на покрытие затрат, на реализацию плана и выплат за пользование землёй. В результате выходит, что хозяйства не получают средств для развития. Это обстоятельство может быть учтено при задании коэффициентов . Помимо обязательно включаемых затрат на приобретение горюче-смазочных материалов, удобрений, амортизационных отчислений на ремонт техники, заработной платы рабочим и т.п., в можно включить средства на развитие инфраструктуры, трактуя их как амортизационные отчисления на восстановление рабочей силы, а также некоторую добавочную составляющую, идущую на формирование фонда развития новых технологий.

        Другой источник пополнения фондов развития хозяйств — это coбранные платежи за пользование землёй в сумме . Если исходить из того, что земля — это национальное достояние, то сборы за пользование землёй принадлежат всему обществу. В том числе определённую долю в этих сборах имеют и рассматриваемые хозяйства. Определенная часть средств из отойдет, очевидно, к федеральным органам управления. Та же часть, что остаётся в ведении региона, пойдёт как на финансирование развития социальной сферы хозяйств, так и на улучшение плодородия используемых земель. Это наводит на мысль о возможности оставлять в хозяйствах в расчёте на каждый гектар некоторую величину , т. е.взымать в i-м хозяйстве плату за 1 га не , а . Можно принять . В этом случае мы ориентируемся на "худшее" хозяйство и изымаем из дохода i-го хозяйства лишь "дифференцированную ренту" . Если же , то в этом случае "худшие" хозяйства будут дотироваться в размере .

Но подобное финансирование было бы мотивированным, если бы дополнительные средства в размере на 1 га тут же вкладывались в улучшение плодородия земельных угодий. В противном случае такая корректура взымания платежей за землю нарушит то равенство отдачи с вложенного рубля во всех хозяйствах, которое мы имеем при .

Литература

    1. Джордж Г. Прогресс и бедность. - С.-Пб., 1896.
    2. Канторович Л.В. Экономический расчет наилучшего использования ресурсов. - М.: Изд-во АН СССР, 1959.

Оглавление