Оглавление

ПРИНЦИП НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ В НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЯХ
СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

А.И. Литвин, А.И. Май

Институт оптического мониторинга СО РАН,Томский государственный педагогический университет

        Человечество в конце XX в. осознало, что непрерывный рост численности населения и уровня потребления при ограниченных запасах природного потенциала неизбежно приводит к рассмотрению предсказуемого и устойчивого развития стран. Процесс устойчивого развития является объективным законом функционирования сложных систем. В основу концепции устойчивого развития положено сбалансированное развитие экономики, природы и общества. При построении модели устойчивого развития России во главе угла должна стоять идея роста национального богатства, как материального, так и духовного, при сохранении биосферы и экосистемы в целях удовлетворения жизненных потребностей нынешнего и будущего поколений. Но в этом случае возникает вопрос о степени управляемости социально-экономических систем (в смысле их предсказуемого и устойчивого развития).

        Полностью управляемых систем не существует. Например, существуют неуправляемые силы гравитации, законы биоэнергетики, законы движения планет и другие законы, управлять которыми человек не в силах. Поэтому любое развитие лишь частично управляемо и контролируемо. Известно, что основные экологические проблемы возникли в результате несоответствия законов функционирования природных систем и человека. Из практики и опыта жизни известно, что в ход природных процессов лучше не вмешиваться. Вмешательство человека в ход природных процессов не должно противоречить законам природы. Искусственная, или техногенная среда должна иметь замкнутые производственные циклы, безотходную технологию, экологическое благополучие. Человечеству остается только приспосабливаться к природным условиям или использовать законы природы наилучшим образом. В этом случае вопрос о соотношения хаоса и порядка играет весьма важную роль

        Понятие хаос играло существенную роль уже в мировоззрениии философов древности (Платон, Аристотель и др.). В естественных науках такие понятия, как хаос, порядок, хаотическое движение являются фундаментальными, но тем не менее нечетко определенными. Например, начиная с классических работ Максвелла, Больцмана, Гиббса хаотическим называют движение атомов в состоянии статического равновесия. Хаотическими называют и движения в состояниях, далеких от равновесия. Часто используется термин “динамический хаос”, характеризующий сложные движения в “простых” нелинейных диссипативных системах. Например, динамический хаос описывается уравнением Лоренца в теории тепловой конвекции. Таким образом, под термином “хаос” понимают разные виды сложных движений. Это указывает на необходимость введения критерия степени хаотичности или упорядоченности систем.

        Для этой цели рассмотрим понятие эволюции и самоорганизации систем. Понятие эволюции можно считать более общим. В физике для “замкнутых” систем понятие эволюция относят к равновесному состоянию; для открытых систем - к стационарным состояниям. Довольно часто эволюцию рассматривают как образование последовательности новых структур (например, в биологии). Каково соотношение понятий эволюция и самоорганизация? Ответ на этот сложный вопрос неоднозначен. Если, говоря о процессах самоорганизации, иметь в виду процессы, при которых возникают более сложные и совершенные структуры, то возникает вопрос, является ли любой эволюционный процесс процессом самоорганизации. Ответ будет отрицательным, так как эволюция может вести систему как к устойчивому развитию, так и к деградации системы. В физике таким примером служит переход к равновесному состоянию, которое, по Больцману или Гиббсу, является наиболее хаотическим. Один и тот же поток тепла и света может действовать благоприятно на биосистему, а может и разрушать ее. Деградация биологических структур довольно часто возникает и при неблагоприятных мутациях и т.д. Можно сказать, что самоорганизация - один из возможных путей эволюции.

        Ряд ученых считают понятие хаоса и порядка первичным, изначальным, само собой разумеющимся. Но такой неопределенный подход может приводить к различным видам волюнтаризма, нецелесообразности, потере здравого смысла. Поэтому попытаемся дать определение хаоса.

Определение 1. Любая система находится в хаотическом состоянии, если она теряет свои основные качества, свойства, характеристики и параметры.

        В противном случае система является упорядоченной.

        Формирование хаоса в системах может проходить двумя путями: скачкообразно, путем взрыва - революционно; эволюционно - путем постепенного изменения ее параметров, характеристик. Если система является управляемой и наблюдаемой [1], то в этом случае контроль и предсказумость состояний системы вполне возможны.

        Согласно [1], сложная система является многоуровневой конструкцией из взаимодействующих элементов, объединенных в подсистемы различных уровней. Математическая модель сложной системы состоит из математических элементов и взаимодействия между ними. Многие исследователи считают, что во всех социально-экономических системах (СЭС) и в ряде других системах необходимо определенное соотношение между хаосом и порядком (близкое к золотому сечению). С этим можно соглашаться и не соглашаться, но отклонения от этого соотношения ведет к “усиленному” порядку или хаосу-безобразию. Часто считается также, что неустойчивая система находится в состоянии хаоса.

        Под устойчивостью функционирования сложной модели будем понимать способность системы сохранять требуемые свойства в условиях возмущения. Для системы, устойчивой лишь относительно каких-либо параметров, характеристик, можно указать ограничения, налагаемые на возмущения, при которых данные параметры и характеристики будут сохранять свои значения. В случае же неустойчивой системы этого сделать нельзя; даже очень малые возмущения могут привести к потерям свойств системы.

        Проведем исследование систем с точки зрения приведенных выше определений и понятий.

        Введем множество управляющих параметров. Выбор параметров, управляющих процессами самоорганизации, производится на основе имеющейся информации о системе или на основе дополнительных исследований. В качестве управляющих могут быть выбраны различные параметры. При наличии нескольких управляющих параметров возможен поиск наиболее эффективного пути самоорганизации систем. Обозначим через набор управляющих параметров. Будем определять степень хаотичности системы как функцию от управляющих параметров.

Если x(t) и y(t) представляют собой сигналы (процессы), то их взаимная корреляционная функция (ВКФ) определяется как

где T - промежуток времени, а t - временной сдвиг, непрерывно изменяющийся в интервале (-Ґ , Ґ ) независимо от t [2]. Если в предыдущем выражении заменить y(t+t ) на x(t+t ), то получим автокорреляционную функцию (АКФ): , где x(t) - значения сигнала в момент времени t, а x(t+t ) - значения сигнала (процесса) в момент времени (t+t ). Чтобы оценить степень хаоса, используем АКФ. По теореме Винера-Хинчина, R(t ) есть преобразование Фурье спектра мощности. Если x(t) - константа, периодический или квазипериодический режим, то спектр мощности состоит из отдельных пиков и R(t ) остается отличной от нуля величиной при t ® Ґ .

        Периодический или квазипериодический сигнал (процесс) обладает сходством с самим собой и в более поздние моменты времени, т.е. обладает фрактальным свойством, в смысле одного из определений: фракталом называется множество, состоящее из частей, подобных целому [3]. Это означает, что поведение системы предсказуемо. В хаотическом же режиме, в котором спектр мощности обязательно содержит непрерывную часть, автокорреляционная функция R(t ) стремится к нулю при возрастании t . В этом случае сигнал (процесс) становится непредсказуем ввиду потери самоподобия.

        Чтобы устранить конечномерность (хотя бы частично) приведенного выше определения, можно перейти от непрерывной формы представления ВКФ и АКФ к дискретной.

        Если {x(m)} означает последовательность конечных действительных или комплексных чисел, то дискретное преобразование Фурье этой последовательности определяется как где

        Используя преобразование Фурье, доказывается теорема корреляции [1].

        Если {x(m)} и {y(m)} - последовательности действительных чисел, при которых а их ВКФ определяется соотношением то , где - сопряженная величина по отношению к .

        Если последовательности x(m) и y(m) идентичны друг другу, то предыдущее выражение сводится к следующему: т. е. теорема Винера-Хинчина выполняется и в дискретном случае. Но тогда сглаживается конечномерная протяженность функций ВКФ и АКФ.

        Используя ВКФ и АКФ, можно не только проводить предсказание во времени, но и давать оценки поведения случайных процессов в зависимости от управляющих параметров. Например, величина x менее хаотична, чем другая величина y по отношению параметру а, если ее статистическая оценка х(а) по известным значениям возможна с большей точностью, чем соответствующая оценка y(a) по значениям Например, вычисляя ВКФ двух величин x и y, можно сравнить эти величины по идентичности. Если Z(t ) имеет максимальное значение в точке t =0, то величины x и y - идентичны. В противном случае одна из этих величин будет более хаотичной по отношению к другой, что возможно узнать, вычисляя АКФ этих величин и сравнивая их между собой.

        Таким образом, оценку ВКФ и АКФ можно рассматривать как степень хаотичности или упорядоченности процесса, а появление в спектре мощности непрерывной части - как признак перехода от упорядоченного развития процесса к хаотическому. Критерий автокорреляции направлен на то, чтобы выявлять периодические и квазипериодические (хаотические) процессы. Но данный критерий ограничен ввиду того, что он не в состоянии выявить периодичность в период, превышающий время наблюдения Т. Известно, что критерий сплошного спектра есть хаотический процесс, тогда как дискретный отвечает периодическим процессам. Очевидно, что критерий сплошного спектра эквивалентен АКФ, так как АКФ и спектральная плотность связаны между собой преобразованием Фурье. Несмотря на высказанное ранее замечание, критерий АКФ имеет часто практический смысл, так как он служит индикатором перехода от периодического режима к хаосу.

        Приведем ряд примеров распределений.

        1. Рассмотрим равномерное распределение y=c. Тогда этот процесс будет упорядоченным; его графиком будет кривая, параллельная оси OX на высоте от этой оси - c. Будем по оси OX "откладывать" количество людей, а вдоль оси OY - их доходы. В этом случае получим график равномерного распределения доходов определенной части населения. Несмотря на то, что этот процесс является устойчивым, упорядоченным, но он в социальном смысле не является "хорошим". Данный процесс характеризуется почти отсутствием прогресса, стремления к повышению производительности труда, малым движением вперед и т.д. Нетрудно догадаться, что это есть принцип социально-материального равенства людей, который был положен в основу идеологии марксизма -"научного коммунизма". Насколько этот принцип является научным, трудно сказать, ибо если даже исходить из теории марксизма в отношении критерия истины (практика - критерий истины), то до настоящего времени он остается нереализуемым. Очевидно, что это положение на практике трудно реализуемо, так как оно рассчитано на идеальные условия, на идеальное общество и т.д. Не истинно - значит и не научно. Но с другой стороны, этот принцип нельзя отбрасывать, полностью игнорировать, так как в конечном счете может быть достигнута полная идеализация, гармонизация общества.

        2. График смещенного (сдвинутого) нормального распределения - кривая Гаусса. Этот социально-экономический процесс, характеризующий СЭС, можно интерпретировать следующим образом. Он является устойчивым, упорядоченным. Имется бедные и богатые, но численность их невелика. Доходы богатых имеют верхний предел, а доходы бедных - нижний. Основная часть населения такого вида СЭС - средний класс, доходы которого и составляют большую часть богатства СЭС.

        3. Распредеделение Парето где c>0 - константа, a <-1. График этого распределения - кривая Парето (гиперболического типа) - богатые становятся богаче, а бедные беднее. Такого вида СЭС являются хаотическими, неустойчивыми. Это положение СЭС в определенном случае может влиять на социально-экономические процессы в ту или иную сторону - при малом изменении a ее хаотичность может резко увеличиваться или уменьшаться. Рассмотрим ее социальный смысл. Богатые люди составляют меньшинство населения. Их доходы не имеют ограничений. Средний класс почти отсутствует, зато бедных людей очень много - их доходы неограниченно уменьшаются с течением времени ( кривая Парето приближается к оси OX очень быстро). Такого вида СЭС существует в ряде стран, в том числе и в России.

        Случайность объектов, характеризующих сложное, хаотическое поведение, можно описывать с помощью и других количественных и качественных показателей: фрактальной размерности, энтропии, невоспроизводимости, неповторяемости, самоподобия т.д.

        Известно, что самоподобие объектов и процессов в природе можно наблюдать как в пространстве, так и во времени. При изучении процессов самоподобия рассматривают понятие обобщенной размерности множеств [3], по величине которой можно определить степень хаотичности процесса. Мандельброт ввел понятие самоподобных множеств произвольных геометрических объектов и назвал их фракталами. Фракталы представляют собой совокупность линий, поверхностей, тел и т.п., имеющих сильноизрезанную форму.

        Понятие фракталов оказалось полезным в различных приложениях: береговые линии, очертания гор, геологические разломы, система кровеносных сосудов живых организмов и т.д. можно изучать с применением теории фракталов.

        Покажем на примере возможность использования теории фракталов для изучения хаотического поведения СЭС. Параметры распределения Парето c и a фиксируют соотношение доходов богатых и бедных. Например, с уменьшением параметра a <-1 кривая Парето резко поднимается вверх, что означает увеличение доходов у богатых и уменьшение их у бедных. На самом деле, если в этом случае a есть дробная величина, то она будет определять размерность фрактального множества, для этого достаточно положить -a =d (размерность фрактального множества по Хаусдорфу-Безиковичу). Заметим, что ранее было показано использование теории фракталов для оценивания АКФ.

Литература

  1. Бусленко Н.П. Моделирование сложных систем. - М.: Наука, 1979. - 400 с.
  2. Ахмед Н., Рао К.Р. Ортогональные преобразования при обработке цифровых сигналов. - М.: Связь, 1980. - 248 с.
  3. Федер Е. Фракталы. - М.: Мир, 1991. - 240 с.

Оглавление